تبدیل ستاره مثلث

شبکه‌ها یا مدارهای سه‌فاز استاندارد، دو فرم اصلی دارند که بیان‌گر نوع اتصال آن‌ها است. یک شبکه اتصال «ستاره» (Star) که با حرف Y نمایش داده می‌شود و یک اتصال «دلتا» (Delta) یا «مثلث»، که با نماد مثلث یا $$\Delta$$

آن را نشان می‌دهیم.

اگر یک منبع سه‌فاز سه‌سیمه یا بار سه‌فاز داشته باشیم، می‌توانیم به سادگی آن را با استفاده از تبدیل ستاره به مثلث یا مثلث به ستاره، به اتصال معادل دیگر تبدیل کنیم.

یک شبکه مقاومتی متشکل از سه امپدانس را که به فرم یک پیکربندی T متصل شده‌اند، می‌توان به شکل ستاره یا Y زیر بازنویسی کرد:

اتصال T و معادل ستاره آن

همچنین می‌توان یک شبکه مقاومتی نوع $$\pi$$

را به صورت معادل الکتریکی مثلث نوشت:

اتصال $$\pi$$

و معادل $$\Delta$$

آن

تبدیل ستاره به مثلث و مثلث به ستاره، با استفاده از رابطه ریاضی بین مقاومت‌های مختلف آن‌ها انجام می‌شود. این تبدیلات مداری، ما را قادر می‌سازند که مقاومت‌ها (امپدانس‌ها)ی اتصال را با معادل آن‌ها بین سرهای 2-1، 3-1 یا 3-2 به صورت ستاره یا مثلث بیان کنیم. هرچند ولتاژ و جریان سرهای خروجی دو شبکه اصلی و تبدیل شده در دو حالت برابر است، اما ولتاژها و جریان‌های داخلی شبکه اصلی نسبت به معادل آن متفاوت است. با این اوصاف، شبکه اصلی و معادل، توان یکسانی مصرف می‌کنند.

تبدیل مثلث به ستاره

برای تبدیل یک شبکه مثلث به معادل ستاره، لازم است فرمول تبدیل را برای معادل‌سازی مقاومت‌های مختلف بین هر دو سر شبکه به دست آوریم. شکل زیر را در نظر بگیرید.

تبدیل مثلث به ستاره

به مقاومت‌های بین دو سر 1 و 2 توجه کنید.

ادامه موضوع در   بخش   ادامه مطلب

مقاومت‌های بین دو سر 2 و ۳ نیز به صورت زیر هستند:

برای مقاومت‌های بین دو سر 1 و ۳ نیز داریم:

با توجه به روابط بالا، سه معادله داریم. با تفریق معادله 2 از معادله 3 داریم:

در نتیجه، می‌توانیم معادله ۱ را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

با جمع کردن معادله بالا و معادله قبل از آن، داریم:

بنابراین مقدار مقاومت P را می‌توانیم با فرمول زیر به دست آوریم.

برای خلاصه می‌توان گفت که معادله 1 با (رابطه2 – رابطه3 + رابطه1) محاسبه می‌شود.

به طریق مشابه، مقاومت Q اتصال ستاره از مجموع جبری (رابطه3 – رابطه1 + رابطه2) به دست می‌آید:

و در نهایت، مقاومت R را نیز می توان با (رابطه1 – رابطه2 + رابطه3) محاسبه کرد:

مخرج همه فرمول‌های تبدیل مثلث به ستاره، A+B+C است که بیان‌گر مجموع مقاومت‌های اتصال مثلث خواهد بود.

خلاصه معادله‌های تبدیل مثلث به ستاره در فرمول زیر آورده شده است:

اگر سه مقاومت اتصال مثلث با هم برابر باشند، مقاومت معادل در اتصال ستاره، یک سوم مقدار هر یک از آن‌ها خواهد بود. به عبارت دیگر، هر شاخه مقاومتی اتصال ستاره برابر خواهد بود با: $$R_{STAR}=1/3\ast R_{DELTA}$$

.

مثال 1

معادل ستاره شبکه مثلث زیر را به دست آوردید.

تبدیل ستاره به مثلث

تبدیل ستاره به مثلث، عکس تبدیل مثلث به ستاره است که آن را بیان کردیم. دیدیم که مقاومت متصل به یک ترمینال در اتصال ستاره، از ضرب دو مقاومت متصل به همان ترمینال در پیکربندی مثلث به دست می‌آید.

با بازنویسی فرمول‌های بالا، می‌توانیم تبدیلات ستاره به مثلث را محاسبه کنیم.

مقدار هر مقاومت روی هر ضلع اتصال مثلث برابر است با مجموع ضرب ترکیبات دو به دوی اتصال ستاره تقسیم بر مقاومتی که به رأس مقابل این ضلع متصل است. بنابراین، فرمول محاسبه مقاومت A به شکل زیر است:

به همین ترتیب، مقاومت‌های متصل بین سرهای 1 و 3 و همچنین 2 و 3 به صورت زیر نوشته می‌شود:

با تقسیم جداگانه هر عبارت از صورت کسر سه فرمول اخیر، می‌توانیم آن‌ها را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

اگر همه مقاومت‌های اتصال ستاره با هم برابر باشند، مقاومت‌های معادل اتصال مثلث آن، سه برابر هر یک از این مقاومت‌ها خواهند بود. به عبارت دیگر، $$R_{DELTA}=3\ast R_{STAR}$$

.

مثال 2

معادل مثلث شبکه ستاره زیر را به دست آوردید.

مثالی از تبدیل ستاره به مثلث

با کمک هر دو تبدیل ستاره به مثلث و مثلث به ستاره می‌توانیم مدار را ساده‌تر کرده و آن را آسان‌تر تحلیل کنیم.